Операторлар теориясы

ОПЕРАТОРЛАР ТЕОРИЯСЫ – операторлардың қасиеттерін, олардың әр түрлі есептерді шешуде қолданылуын зерттейтін функционалдық анализ бөлімі. Оператор ұғымы – математиканың жалпы ұғымдарының бірі. Мыс., әрбір x=(x1, x2, x3) векторына y="a"і1x1+aі2x2+aі3x3 (і=1, 2, 3; aі1aі2aі3 – тиянақты сандар) өрнегі арқылы y=(y1, y2, y3) векторын сәйкес қою арқылы x векторын y векторына түрлендіретін y=А(x) операторы анықталады. 

Операторлар нормаланған кеңістіктерде, әсіресе, функцион. кеңістіктерде жиі қолданылады. Операторлардың жете зерттелген класы сызықтық операторлар болып есептеледі. Егер R сызықтық кеңістіктің кез келген x1, x2 екі элементі мен кез келген α және β екі саны үшін А(αх+βу)=αА(x)+βА(у) теңдігі орындалса, онда А операторы сызықтық оператор деп аталады. Егер y=А(x) элементі нормасының х элементі нормасына қатынасы, яғни  шектелген шама болса, онда А шектелген оператор делінеді. Сызықтық оператордың шектелгендігі – оның үздіксіз болуымен пара-пар шарт. 

Егер y=А(x) операторы әр түрлі x1, x2 элементтерін тек әр түрлі y1, y2 элементтеріне ғана көшіріп отыратын болса, онда әрбір у элементіне сәйкес бір ғана түп бейне х элементі сәйкес қойылады. Бұл сәйкестік кері оператор деп аталады және y=А-1(x) түрінде белгіленеді. А1 және А2 екі оператордың қосындысы деп А(x)=А1(x)+А2(x) теңдігімен анықталатын операторды айтады. Ал операторлардың көбейтіндісі А=А2А1 алдымен А1 операторын соңынан А2 операторын қолданудың нәтижесі ретінде анықталады, яғни А(x)=[А2А1(x)]. Бір операторды n рет қайталап қолдану арқылы А операторының n дәрежесі анықталады. А операторын λ санына көбейту (λА)(х)=λА(x) теңдігімен орындалады. Кез келген элементті өзін-өзіне ауыстыратын Е операторы бірлік оператор деп, ал кез келген элементті нөлге ауыстыратын оператор нөлдік оператор делінеді. Операторларды өзара қосу, көбейту және санға көбейту амалдарын орындай отырып, сызықтық операторлардан көпмүшеліктер, қатарлар құруға болады. 

О. т-ның ішінде Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлар толығырақ зерттелген. А – Гильберт кеңістігіндегі (Н) шектелген сызықтық оператор болсын. Егер λ комплекс саны үшін хН, х0 элементі табылып және ол үшін А(х)=λx теңдігі орындалса, онда λ саны А операторының меншікті мәні деп, ал х – осы меншікті мәнге сәйкес А операторының меншікті векторы деп аталады. Егер барлық х, уН үшін скаляр көбейтіндісі (А х, у)=(х, А* у) болса, онда А* операторы А операторына түйіндес делінеді. Егер А*=А болса, өзіне түйіндес деп, ал А*=А–1 болса, онда А унитар оператор деп аталады. Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлардың ең қарапайым класы үздіксіз операторлар, ал шектелмеген сызықтық операторлардың ең маңызды класы – дифференц. операторлар. 

Кейбір жағдайларда сызықтық емес операторларды да қарастыруға тура келеді. Физика мен механикада сызықтық емес интегр. операторлардың маңызы зор, сондай-ақ матем. анализде, дифференц. және интегр. теңдеулерде, геометрияда, алгебрада, т.б. салаларда О. т. кеңінен қолданылады. Қазақстанда О. т-н зерттеумен М.Өтелбаев, Н.Білиев, І.Қасымов, Т.Қалменов, Г.Бижанова, т.б. айналысады.

Ә. Түнғатаров