Дифференциалдық теңдеулер

04.12.2012 28877
Дифференциалдық теңдеулер – ізделінетін функцияны оның әр түрлі ретті туындыларымен (немесе дифференциалдарымен) және тәуелсіз айнымалылармен байланыстыратын теңдеулер. Дифференциалдық теңдеулер 17 ғасырдың соңында механика, т.б. жаратылыстану пәндерінің талабына сәйкес интегралдық есептеу және дифференциалдық есептеумен қатар пайда болды. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер Ньютонның және неміс математигі Лейбництің) еңбектерінде кездеседі. “Дифференциалдық теңдеулер” терминін ғылымға Лейбниц енгізген (1676). Тәуелсіз бір айнымалыға тәуелді бір немесе бірнеше функциялардың туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеу деп, ал тәуелсіз бірнеше айнымалыға тәуелді функциялардың дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Дифференциалдық теңдеулерге енетін туындылардың реті дифференциалдық теңдеулердің реті делінеді. Бір белгісіз функциясы бар 1-ретті дифференциалдық теңдеулер деп х айнымалысының, y ізделінетін функциясының және оның туындысының арасындағы мынадай қатысты: F(x, айтады. Егер y, yӨ)=0 (1) теңдеу туындыға қатысты шешілетін болса, онда мынадай теңдеу алынады: yӨ=f(x, y). (2) Ал (2) теңдеу дифференциалдар арасындағы қатыс түрінде былайша жазылады: dy="f"(x, y)dx; онда соңғы теңдеу: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 теңдеуінің дербес бір түрі болып есептеледі (мұндағы х және y айнымалылары – бір-біріне пара-пар айнымалылар). х тәуелсіз айнымалысына тәуелді бір белгісізді функциясы бар n-ретті дифференциалдық теңдеу былайша жазылады: F(x,y,yӨ, y˝,..., y(n–1), y(n))= 0 (3) Егер: y="y"Ө, y2=y˝, ..., yn-1=y(n–1) (4) белгісіз функцияларды қосымша енгізсек, онда (3) теңдеуді n белгісіз функциялары бар 1-ретті n теңдеулер жүйесімен алмастыруға болады. Осындай жолмен жоғары ретті теңдеулер жүйесі де 1-ретті теңдеулер жүйесіне келтіріледі. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу мен дербес туындылы дифференциалдық теңдеу жүйесінің өзіне тән ерекшелігі – олардың дербес шешімдерін бір мәнді анықтау үшін белгілі бір параметрлердің шекті сандары мәндерінің берілуін талап етпей, қандай да бір (кез келген) функциялардың берілуін талап ететіндігі. Мысалы, теңдеуінің жалпы шешімі болып: u(t, x)=f(x+t)+g(x–t) өрнегі есептеледі, мұндағы f және g – кез келген функциялар. Бұл жерде екі айнымалы u(x, y) функциясы бір айнымалы кез келген екі f(z) және g(z) функциялары арқылы өрнектеліп тұр.

Дифференциалдық теңдеулер – ізделінетін функцияны оның әр түрлі ретті туындыларымен (немесе дифференциалдарымен) және тәуелсіз айнымалылармен байланыстыратын теңдеулер. Дифференциалдық теңдеулер 17 ғасырдың соңында механика, т.б. жаратылыстану пәндерінің талабына сәйкес интегралдық есептеу және дифференциалдық есептеумен қатар пайда болды. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер Ньютонның және неміс математигі Лейбництің) еңбектерінде кездеседі. “Дифференциалдық теңдеулер” терминін ғылымға Лейбниц енгізген (1676).
Тәуелсіз бір айнымалыға тәуелді бір немесе бірнеше функциялардың туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеу деп, ал тәуелсіз бірнеше айнымалыға тәуелді функциялардың дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Дифференциалдық теңдеулерге енетін туындылардың реті дифференциалдық теңдеулердің реті делінеді.
Бір белгісіз функциясы бар 1-ретті дифференциалдық теңдеулер деп х айнымалысының, y ізделінетін функциясының және оның туындысының арасындағы мынадай қатысты: F(x,
айтады.
Егер y, yӨ)=0 (1) теңдеу туындыға қатысты шешілетін болса, онда мынадай теңдеу алынады: yӨ=f(x, y). (2)
Ал (2) теңдеу дифференциалдар арасындағы қатыс түрінде былайша жазылады:
dy="f"(x, y)dx;
онда соңғы теңдеу:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
теңдеуінің дербес бір түрі болып есептеледі (мұндағы х және y айнымалылары – бір-біріне пара-пар айнымалылар).
х тәуелсіз айнымалысына тәуелді бір белгісізді функциясы бар n-ретті дифференциалдық теңдеу былайша жазылады:
F(x,y,yӨ, y˝,..., y(n–1), y(n))= 0 (3)
Егер:
y="y"Ө, y2=y˝, ..., yn-1=y(n–1) (4)
белгісіз функцияларды қосымша енгізсек, онда (3) теңдеуді n белгісіз функциялары бар 1-ретті n теңдеулер жүйесімен алмастыруға болады. Осындай жолмен жоғары ретті теңдеулер жүйесі де 1-ретті теңдеулер жүйесіне келтіріледі.
Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу мен дербес туындылы дифференциалдық теңдеу жүйесінің өзіне тән ерекшелігі – олардың дербес шешімдерін бір мәнді анықтау үшін белгілі бір параметрлердің шекті сандары мәндерінің берілуін талап етпей, қандай да бір (кез келген) функциялардың берілуін талап ететіндігі. Мысалы, теңдеуінің жалпы шешімі болып:
u(t, x)=f(x+t)+g(x–t) өрнегі есептеледі, мұндағы f және g – кез келген функциялар. Бұл жерде екі айнымалы u(x, y) функциясы бір айнымалы кез келген екі f(z) және g(z) функциялары арқылы өрнектеліп тұр.